Strona główna > Matematyka > Funkcja kwadratowa > Wzory Viete'a
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
x1+ x2+ ...+ xn= -an-1/an
x1 · x2 · ... · xn= (-1)n · a0/an
Przykład - wzory Viete'a dla równania 3-stopnia
Niech będzie dane równanie x3+2x2-x-2=0. Jego pierwiastkami są liczby: -2,-1,1. Obliczmy sumę i iloczyn pierwiastków:
x1+ x2+ x3 = -2+-1+1=-2
x1 · x2 · x3 = (-2) · (-1)·1=2
Obliczmy teraz sumę i iloczyn korzystając ze wzorów Viete'a:
x1+ x2+ x3 = -2/1=-2
x1 · x2 · x3 = (-1)3·(-2)/1=2
prawdziwe są wzory:
Suma pierwiastków równania kwadratowego ma zatem wartość:
Iloczyn pierwiastków równania kwadratowego ma zatem wartość:
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
12-4*2*m > 0
m < 1/8
Aby równanie miało pierwiastki tego samego znaku, ich iloczyn musi być dodatni:
x1 * x2 = c/a = m/2 >0
m > 0
Ostatecznie otrzymujemy: m < 1/8 i m > 0 .
Zobacz koniecznie! Równania kwadratowe zadania
2013-05-11 17:08:09 123 napisał(a):
Jak to zrobić ? korzystając ze wzorów Vietea ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami będą liczby 2 razy większeod pierwiastków równania x^2-5x+1=0
2013-05-13 15:57:09 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Hmm - wydaje mi się, że do rozwiązania tego zadania nie trzeba wykorzystywać wzorów Vietea. Oto rozwiązanie:
2013-05-13 16:57:56 123 napisał(a):
Dzięki.
Wzory Viete'a
Jeśli mamy dane równanie kwadratowe postaci ax2+bx+c=0 i Δ=b2-4ac>=0 i a jest różne od 0 oraz x1 , x2 są pierwiastkami tego równania, wówczas prawdziwe są wzory:x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
Uogólnione Wzory Viete'a
Dla równania algebraicznego o postaci an xn +an-1 xn-1+...+a1 x+ a0 =0 posiadającego pierwiastki x1, x2, x3, ... , xn prawdziwe są wzory:x1+ x2+ ...+ xn= -an-1/an
x1 · x2 · ... · xn= (-1)n · a0/an
Przykład - wzory Viete'a dla równania 3-stopnia
Niech będzie dane równanie x3+2x2-x-2=0. Jego pierwiastkami są liczby: -2,-1,1. Obliczmy sumę i iloczyn pierwiastków:
x1+ x2+ x3 = -2+-1+1=-2
x1 · x2 · x3 = (-2) · (-1)·1=2
Obliczmy teraz sumę i iloczyn korzystając ze wzorów Viete'a:
x1+ x2+ x3 = -2/1=-2
x1 · x2 · x3 = (-1)3·(-2)/1=2
Wzory Viete'a - wyprowadzenie
Dla równania kwadratowego o postaci:
prawdziwe są wzory:
Suma pierwiastków równania kwadratowego ma zatem wartość:
Iloczyn pierwiastków równania kwadratowego ma zatem wartość:
Przykład zastosowania wzorów Viete'a
Dane jest równanie kwadratowe 2x2+x+m=0. Dla jakiej wartości parametru m równanie to ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tego samego znaku?Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
12-4*2*m > 0
m < 1/8
Aby równanie miało pierwiastki tego samego znaku, ich iloczyn musi być dodatni:
x1 * x2 = c/a = m/2 >0
m > 0
Ostatecznie otrzymujemy: m < 1/8 i m > 0 .
Zobacz koniecznie! Równania kwadratowe zadania
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (3)
2013-05-11 17:08:09 123 napisał(a):
Jak to zrobić ? korzystając ze wzorów Vietea ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami będą liczby 2 razy większeod pierwiastków równania x^2-5x+1=0
2013-05-13 15:57:09 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Hmm - wydaje mi się, że do rozwiązania tego zadania nie trzeba wykorzystywać wzorów Vietea. Oto rozwiązanie:
2013-05-13 16:57:56 123 napisał(a):
Dzięki.