Wzory Viete'a

Jeśli mamy dane równanie kwadratowe postaci ax2+bx+c=0 i Δ=b2-4ac>=0 i a jest różne od 0 oraz x1, x2 są pierwiastkami tego równania, wówczas prawdziwe są wzory:

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

Uogólnione Wzory Viete'a

Dla równania algebraicznego o postaci an xn +an-1 xn-1+...+a1 x+ a0 =0 posiadającego pierwiastki x1, x2, x3, ... , xn prawdziwe są wzory:

x1+ x2+ ...+ xn= -an-1/an
x1 · x2 · ... · xn= (-1)n · a0/an

Przykład - wzory Viete'a dla równania 3-stopnia

Niech będzie dane równanie x3+2x2-x-2=0. Jego pierwiastkami są liczby: -2,-1,1. Obliczmysumę i iloczyn pierwiastków:

x1+ x2+ x3 = -2+-1+1=-2
x1 · x2 · x3 = (-2) · (-1)·1=2

Obliczmy teraz sumę i iloczyn korzystając ze wzorów Viete'a:

x1+ x2+ x3 = -2/1=-2
x1 · x2 · x3 = (-1)3·(-2)/1=2

Wzory Viete'a - wyprowadzenie

Dla równania kwadratowego o postaci:

równanie kwadratowe
prawdziwe są wzory:

delta i pierwiastki równania kwadratowego
Suma pierwiastków równania kwadratowego ma zatem wartość:

wyprowadzenie wzorów Viete'a
Iloczyn pierwiastków równania kwadratowego ma zatem wartość:

wyprowadzenie wzorów Viete'a

Przykład zastosowania wzorów Viete'a

Dane jest równanie kwadratowe 2x2+x+m=0. Dla jakiej wartości parametru m równanie to ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tego samego znaku?

Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste:

12-4*2*m > 0

m < 1/8

Aby równanie miało pierwiastki tego samego znaku, ich iloczyn musi być dodatni:

x1 * x2 = c/a = m/2 >0

m > 0

Ostatecznie otrzymujemy: m < 1/8 i m > 0 .

Zobacz koniecznie! Równania kwadratowe zadania

Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:

Dodaj komentarz do artykułu.

Nie musisz podawać adresu email.Jeli jednak go podasz - będziemy mogli się z Tob‘ skontaktować, aby poinformować Cię o odpowiedzi na zadane pytanie.
Plik w formacie png, jpg, gif, bmp, pdf, doc, docx, xls,xlsx, zip. Max rozmiar pliku 2 MB.

Komentarze użytkowników (3)


2013-05-11 17:08:09 123 napisał(a):
Jak to zrobić ?korzystając ze wzorów Vietea ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami będą liczby 2 razy większeod pierwiastków równania x^2-5x+1=0

2013-05-13 15:57:09 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Hmm - wydaje mi się, że do rozwiązania tego zadania nie trzeba wykorzystywać wzorów Vietea. Oto rozwiązanie:


Wzory Viete'a

2013-05-13 16:57:56 123 napisał(a):
Dzięki.