Twierdzenie Bezouta

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x-a.

Z twierdzenia Bezouta wynika, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x-a) jest równa W(a) czyli wartości wielomianu dla x=a.

Twierdzenie Bezouta - zadania

Zadanie 1

Sprawdź czy wielomian W(x)=x3-2x2+3x-2 jest podzielny przez dwumian x-1.

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem Bezouta jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1 to liczba1 zeruje ten wielomian. Sprawdźmy to:

W(1)=13-2*12+3*1-2=1-2+3-2=0

Widzimy więc, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1.

Zadanie 2

Dany jest wielomian W(x)=x3+x2+ax+b, który jest podzielny przez dwumiany x-1 i x+1.Wyznacz współczynniki a i b.

Rozwiązanie

Jeśli W(x) jest podzielny przez dwumiany x-1 i x+1 to liczby 1 i -1 zerują wielomian W(x). Stąd otrzymujemy:

W(1)=1+1+a+b=0
W(-1)=-1+1-a+b=0

2+a+b=0
-a+b=0

Stąd otrzymujemy:

a=b
2+a+a=0
2a=-2
a=-1
b=-1

Zadanie 3

Nie wykonując dzielenia wielomianów wykaż, że dzielenie jest wykonalne:

(x4-3x3+4x2-6x+4):(x-2)

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia Bezouta obliczamy wartość wielomianu dla x=2:

24-3*23+4*22-6x+4 = 16-3*8+4*4-6*2+4=16-24+16-12+4=0

Ze względu na to, że liczba 2 zeruje wielomian, to na mocy twierdzenia Bezouta wielomian ten jest podzielny przez dwumian x-2.

Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:

Dodaj komentarz do artykułu.

Nie musisz podawać adresu email.Jeli jednak go podasz - będziemy mogli się z Tob‘ skontaktować, aby poinformować Cię o odpowiedzi na zadane pytanie.
Plik w formacie png, jpg, gif, bmp, pdf, doc, docx, xls,xlsx, zip. Max rozmiar pliku 2 MB.

Komentarze użytkowników (1)


2013-05-01 10:23:35 deodoedoede napisał(a):
świetny artykuł ;D