Twierdzenie Bezouta
Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x-a.
Z twierdzenia Bezouta wynika, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x-a) jest równa W(a) czyli wartości wielomianu dla x=a.
Twierdzenie Bezouta - zadania
Zadanie 1Sprawdź czy wielomian W(x)=x
3-2x
2+3x-2 jest podzielny przez dwumian x-1.
RozwiązanieZgodnie z twierdzeniem Bezouta jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1 to liczba1 zeruje ten wielomian. Sprawdźmy to:
W(1)=1
3-2*1
2+3*1-2=1-2+3-2=0
Widzimy więc, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1.
Zadanie 2Dany jest wielomian W(x)=x
3+x
2+ax+b, który jest podzielny przez dwumiany x-1 i x+1.Wyznacz współczynniki a i b.
RozwiązanieJeśli W(x) jest podzielny przez dwumiany x-1 i x+1 to liczby 1 i -1 zerują wielomian W(x). Stąd otrzymujemy:
W(1)=1+1+a+b=0
W(-1)=-1+1-a+b=0
2+a+b=0
-a+b=0
Stąd otrzymujemy:
a=b
2+a+a=0
2a=-2
a=-1
b=-1
Zadanie 3Nie wykonując dzielenia wielomianów wykaż, że dzielenie jest wykonalne:
(x
4-3x
3+4x
2-6x+4):(x-2)
RozwiązanieKorzystając z twierdzenia Bezouta obliczamy wartość wielomianu dla x=2:
2
4-3*2
3+4*2
2-6x+4 = 16-3*8+4*4-6*2+4=16-24+16-12+4=0
Ze względu na to, że liczba 2 zeruje wielomian, to na mocy twierdzenia Bezouta wielomian ten jest podzielny przez dwumian x-2.
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (1)
2013-05-01 10:23:35 deodoedoede napisał(a):świetny artykuł ;D