Nierówności logarytmiczne
Nierówność logarytmiczna to taka nierówność, w której niewiadoma występuje w podstawie logarytmu lub liczbie logarytmowanej.Zwykle przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych należy ją sprowadzić do postaci:
log
af(x)>log
ag(x) (1.0)
Jeśli 0 < a < 1 to nierówność (1.0) jest równoważna układowi następujących trzech nierówności:
f(x)>0
g(x)>0
f(x)< g(x)
Jeśli a > 1 to nierówność (1.0) jest równoważna układowi następujących trzech nierówności:
f(x)>0
g(x)>0
f(x)>g(x)
Przykład nr 1 nierówności logarytmicznej
Należy rozwiązać nierówność:
log
2(x-3)+log
2(x+3) > 4
RozwiązanieZamieniamy sumę logarytmów na logarytm z iloczynu:
log
2[(x-3)(x+3)] > 4
Przekształcamy prawą stronę na logarytm o podstawie 2:
log
2[(x-3)(x+3)] > log
2(16)
Ponieważ podstawa logarytmu > 1 to dana nierówność jest równoważna układowi nierówności:
(x-3)(x+3)>0
16>0
(x-3)(x+3)>16
Pierwsza nierówność jest spełniona dla x<-3 lub x>3, druga jest spełniona dla dowolnego x, trzecia dla x<-5 lub x>5.Część wspólna tych rozwiązań to x<-5 lub x>5. Oznacza to, że rozwiązaniem danej nierówności są takie wartości x, że x<-5 lub x>5.
Przykład nr 2 nierówności logarytmicznej
Należy rozwiązać nierówność:
log
0.5(x-1) > -2
RozwiązaniePrzekształcamy prawą stronę na logarytm o podstawie 0.5:
log
0.5(x-1) > log
0.5(4)
Ponieważ podstawa logarytmu należy do przedziału (0,1) to dana nierówność jest równoważna układowi nierówności:
x-1 > 0
4 > 0
x-1 < 4
Pierwsza nierówność jest spełniona dla x > 1, druga nierówność jest spełniona dla dowolnej wartości x, trzecia nierówność jest spełniona dla x < 5. Część wspólna tych przedziałów to : x należy do (1,5).Czyli rozwiązaniem danej nierówności logarytmicznej jest przedział (1,5).
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (0)