Strona główna > Matematyka > Trygonometria > Jedynka trygonometryczna
Wzór zwany jedynką trygonometryczną ma postać:
sin2α +cos2α =1
Dla trójkąta pokazanego na rysunku prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa:
a2+b2=c2
Dodatkowo mamy wzory na funkcje trygonometryczne sinus i cosinus kąta α:
sinα=b/c
cosα=a/c
Stąd otrzymujemy:
sin2α +cos2α=(b/c)2+(a/c)2=(a2+b2)/c2
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
a2+b2=c2
Stąd otrzymujemy:
sin2α +cos2α=c2/c2=1
C.N.D.
Rozwiązanie : tg2(x) cos2(x)+cos2(x) = cos2(x) · sin2(x)/cos2(x)+cos2(x) = sin2(x)+cos2(x) = 1
Jedynka trygonometryczna
Wzór zwany jedynką trygonometryczną ma postać:
sin2α +cos2α =1
Jedynka trygonometryczna - uzasadnienie
Dla trójkąta pokazanego na rysunku prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa:
a2+b2=c2
Dodatkowo mamy wzory na funkcje trygonometryczne sinus i cosinus kąta α:
sinα=b/c
cosα=a/c
Stąd otrzymujemy:
sin2α +cos2α=(b/c)2+(a/c)2=(a2+b2)/c2
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
a2+b2=c2
Stąd otrzymujemy:
sin2α +cos2α=c2/c2=1
C.N.D.
Przykładowe zadania
Zadanie 1: Należy uprościć wyrażenie tg2(x) cos2(x)+cos2(x).Rozwiązanie : tg2(x) cos2(x)+cos2(x) = cos2(x) · sin2(x)/cos2(x)+cos2(x) = sin2(x)+cos2(x) = 1