Funkcja odwrotna.

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x) należy wykonać trzy czynności:

1. Piszemy równanie y=f(x)
2. W równaniu z punktu pierwszego wyznaczamy x jako funkcję y i piszemy równanie x=h(x)
3. We wzorze z punktu drugiego zamieniamy niewiadome: x zamieniamy na y i na odwrót.

Jeśli dwie funkcje są względem siebie odwrotne to ich wykresy są symetryczne względem prostej y=x.

Przykłady wyznaczania funkcji odwrotnych.

Przykład 1

Należy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)=2x+4.

Rozwiązanie 1

Wykonujemy po kolei opisane trzy czynności:

1. y=2x+4

2.
y-4=2x
0.5y-2=x
x=0.5y-2

3.
y=0.5x-2

Funkcją odwrotną do y=2x+4 jest funkcja y=0.5x-2.

Obydwie funkcje są symetryczne w stosunku do siebie względem prostej y=x co pokazuje poniższy rysunek:

Funkcje odwrotne

Przykład 2

Należy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)=x2 dla x>0.

Rozwiązanie

Wykonujemy po kolei opisane trzy czynności:

1. y=x2 i x>0

2.
Ponieważ obydwie strony równania są >=0 to wolno nam spierwiastkować obydwie strony równania.Pierwiastkujemy zatem obydwie strony równania:
√y=x

3.
y=√x

Funkcją odwrotną do y=x2 jest funkcja y=√x dla x>0.

Obydwie funkcje są symetryczne w stosunku do siebie względem prostej y=x co pokazuje poniższy rysunek:

Funkcje odwrotne

Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:

Dodaj komentarz do artykułu.

Nie musisz podawać adresu email.Jeli jednak go podasz - będziemy mogli się z Tob‘ skontaktować, aby poinformować Cię o odpowiedzi na zadane pytanie.
Plik w formacie png, jpg, gif, bmp, pdf, doc, docx, xls,xlsx, zip. Max rozmiar pliku 2 MB.

Komentarze użytkowników (10)


2013-02-13 08:27:19 Julaa napisał(a):
w takim razie jak zrobić ten przykład ?f(x)=3x+e

2013-02-14 00:11:36 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj Julaa.

Robimy tak jak w przykładzie nr 1:

1. y=3x+e

2. wyznaczamy x:

y=3x+e
y-e=3x
(y-e)/3=x
3. zamieniamy niewiadome:

(x-e)/3=y
y=x/3 - e/3

Pozdrawiam

Marcin

2013-03-26 12:41:21 zorro napisał(a):
Witam.
Potrzebuje objaśnienia jak zrobić taki przykład inwersji funkcji: k(x)=5ln(√x+1)-6/-2

2013-03-26 17:10:46 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Możesz doprecyzować ten wzór? Powinno być:

k(x)=5ln(√x+1)+3

czy

k(x)=[5ln(√x+1)-6]/-2 = (-5/2)* ln(√x+1) +3 ?

PozdrawiamMarcin


2013-03-31 15:25:58 Tynaa222 napisał(a):
Witam, a jak rysować te wykresy f-cji odwrotnych? po prostu trzeba wstawić liczby, czy jest na to jakiś inny sposób? Czy w przypadku trudniejszych funkcji (np. y= arcsin2(2ln(x)-1)też może być polecenie żeby narysować wykres? Bardzo proszę o odpowiedź

2013-03-31 17:00:32 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj

Przy rysowaniu funkcji prostych np.: funkcji liniowych można stosować wstawianie kolejnych liczb i łączenie odpowiednich punktów. Przy innych prostych funkcjach także stosuje się tą metodę w powiązaniu ze znajomością własności danej funkcji np.: rysując wykres funkcji y=x2-2 trzeba wiedzieć, że wykresem tej funkcji jest parabola, wiedzieć jakie są jej miejsca zerowe , wierzchołek i jak są skierowane ramiona paraboli (góra czy dół). Przy rysowaniu bardziej złożonych funkcji przydatna będzie także wiedza na temat przekształceń funkcji: przesunięcie wykresu o wektor o danych współrzędnych, symetria względem osi x i y. Przy rysowaniu jeszcze bardziej skomplikowanych funkcji najpierw wykonuje się badanie funkcji: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, liczy się pochodną i wartości x, dla których pochodna się zeruje, wyznaczamy wtedy maksima i minima i przedziały, w których funkcja maleje i rośnie, wreszcie wyznaczamy asymptoty funkcji. Wówczas wykres takiej funkcji można narysować. Podana przez Ciebie funkcja raczej kwalifikuje się do tej ostatniej grupy. Myślę, że taka funkcja może się pojawić w zadaniu z ostatnich klas szkoły średniej i na studiach.

Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM

2013-03-31 19:00:25 Tynaa222 napisał(a):
Ooo, bardzo dziekuję, o to właśnie mi chodziło

2013-03-31 21:08:13 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Proszę bardzo :-) Jeśli byś potrzebowała pomocy z jakimś konkretnym przykładem funkcji to możesz go dodać jako komentarz. Jeśli będę potrafił to postaram się pomóc.

Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM

2013-04-22 16:28:34 asiaa napisał(a):
Znaleźć funkcję odwrotną y= -x2 dla x < 0 i 2+x dla x> lub równych 0

BAaaaaardzo proszęo pomoc

2013-04-23 01:20:22 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.

Oto rozwiązanie:


Funkcja odwrotna