Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny a_n to ciąg liczbowy, w którym spełniony jest warunek:

Dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych dodatnich wartość a_n+1/a_n jest stała i równa q.Liczba q jest nazywana ilorazem ciągu geometrycznego.

Wzór na n-ty element ciągu geometrycznego

Wyznaczmy elementy a₂, a₃ i a₄ w zależności od a₁ i q:

a₂/a₁=q

Stąd: a₂=a₁·q

a₃/a₂=q

Stąd : a₃=a₂·q

czyli : a₃=a₁·q·q=a₁·q²

a₃=a₁·q²

a₄/a₃=q
a₄=a₃·q
a₄=a₁·q²·q=a₁·q³

a₄=a₁·q³

Łatwo wydedukować jaki będzie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

a_n=a₁·q^n-1

Przykład ciągu geometrycznego.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ...

Uzasadnienie:

128/64=2
64/32=2
32/16=2
16/8=2
8/4=2
4/2=2

Powyższy ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q=2.

Suma n pierwszych elementów ciągu geometrycznego.

Oto wzór na sumę n pierwszych elementów ciągu geometrycznego:

Suma ciągu geometrycznego

Gdzie : a₁ - pierwszy element ciągu , q - iloraz ciągu

Suma elemnetów nieskończonego ciągu geometrycznego

Obliczmy granicę z S_n dla n -> ∞

Jeśli |q|<1 to granica ta jest równa a₁/(1-q)

Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:

Dodaj komentarz do artykułu.

Komentarze użytkowników (6)

2013-03-20 20:03:24 ania napisał(a):
Tu są tylko trzy zadanka:DZamknięte:1.Liczby (2,x,8)tworzą ciąg geometryczny,który nie jest monotoniczny.Wówczas:a)x=4b)x=-4c)x=4 lub x=-4d)x=5Otwarte:1.W ciągu geometrycznym q=4,S4=255. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.2.Ciąg (3,x+1,12)jest geometryczny. Wyznacz liczbę x.

2013-03-21 18:19:58 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 1 - zamknięte.

a) dla x=4 mamy ciąg geometryczny rosnący czyli monotoniczny, czyli 4 odpada.
b) dla x=-4 mamy ciąg geometryczny niemonotoniczny (raz rośnie a raz maleje). iloraz ciągu q=8/-4=-4/2=-2 - to jest właściwa odpowiedź.
c) ta odpowiedź odpada bo x nie może być =4 (patrz pkt.a)
d) dla x=5 mamy : 8/5=1.6 natomiast 5/2=2.5 czyli ta odp.jest zła.

2013-03-21 18:27:32 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 1 - otwarte.

S₄ = a₁ q³
255=a₁ * 4³
255=a₁ * 64
a₁ =255/64

2013-03-21 22:13:37 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 2.

Jeśli (3,x+1,12) jest ciągiem geometrycznym to :

12/(x+1)=(x+1)/3

Zakładamy, że x+1 różne od 0 czyli x różne od -1.

12/(x+1)-(x+1)/3=0
12*3/[(x+1)*3]-(x+1)²/[(x+1)*3]=0
[36-(x+1)²]/[(x+1)*3]=0
[6²-(x+1)²]/[(x+1)*3]=0

To równanie wymierne jest prawdziwe, gdy licznik będzie równy 0a mianownik różny od 0. Stąd mamy:

6²-(x+1)²=0
[6-(x+1)]*[6+(x+1)]=0
Stąd x=5 lub x=-7.

Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM

2013-04-11 21:56:29 Saandra4 napisał(a):
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane (załącznik)

2013-04-11 22:26:47 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

a_n=a₁ q^n-1
a₄=a₁ q^4-1
a₄=a₁ q³
-9=(1/3)*q³ |*3
-27=q³
-3=q

Czyli szukany ciąg geometryczny ma parametry: q=-3 ,
a₁=1/3