Strona główna > Matematyka > Ciągi liczbowe > Ciąg geometryczny
Dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych dodatnich wartość an+1/an jest stała i równa q. Liczba q jest nazywana ilorazem ciągu geometrycznego.
Wzór na n-ty element ciągu geometrycznego
Wyznaczmy elementy a2, a3 i a4 w zależności od a1 i q:
a2/a1=q
Stąd: a2=a1·q
a3/a2=q
Stąd : a3=a2·q
czyli : a3=a1·q·q=a1·q2
a3=a1·q2
a4/a3=q
a4=a3·q
a4=a1·q2·q=a1·q3
a4=a1·q3
Łatwo wydedukować jaki będzie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
an=a1·qn-1
Przykład ciągu geometrycznego.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ...
Uzasadnienie:
128/64=2
64/32=2
32/16=2
16/8=2
8/4=2
4/2=2
Powyższy ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q=2.
Suma n pierwszych elementów ciągu geometrycznego.
Oto wzór na sumę n pierwszych elementów ciągu geometrycznego:
Gdzie : a1 - pierwszy element ciągu , q - iloraz ciągu
Jeśli |q|<1 to granica ta jest równa a1/(1-q)
2013-03-20 20:03:24 ania napisał(a):
Tu są tylko trzy zadanka:D Zamknięte: 1.Liczby (2,x,8)tworzą ciąg geometryczny,który nie jest monotoniczny.Wówczas: a)x=4 b)x=-4 c)x=4 lub x=-4 d)x=5 Otwarte: 1.W ciągu geometrycznym q=4,S4=255. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu. 2.Ciąg (3,x+1,12)jest geometryczny. Wyznacz liczbę x.
2013-03-21 18:19:58 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 1 - zamknięte.
a) dla x=4 mamy ciąg geometryczny rosnący czyli monotoniczny, czyli 4 odpada.
b) dla x=-4 mamy ciąg geometryczny niemonotoniczny (raz rośnie a raz maleje). iloraz ciągu q=8/-4=-4/2=-2 - to jest właściwa odpowiedź.
c) ta odpowiedź odpada bo x nie może być =4 (patrz pkt.a)
d) dla x=5 mamy : 8/5=1.6 natomiast 5/2=2.5 czyli ta odp.jest zła.
2013-03-21 18:27:32 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 1 - otwarte.
S4 = a1 q3
255=a1 * 43
255=a1 * 64
a1 =255/64
2013-03-21 22:13:37 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 2.
Jeśli (3,x+1,12) jest ciągiem geometrycznym to :
12/(x+1)=(x+1)/3
Zakładamy, że x+1 różne od 0 czyli x różne od -1.
12/(x+1)-(x+1)/3=0
12*3/[(x+1)*3]-(x+1)2/[(x+1)*3]=0
[36-(x+1)2]/[(x+1)*3]=0
[62-(x+1)2]/[(x+1)*3]=0
To równanie wymierne jest prawdziwe, gdy licznik będzie równy 0 a mianownik różny od 0. Stąd mamy:
62-(x+1)2=0
[6-(x+1)]*[6+(x+1)]=0
Stąd x=5 lub x=-7.
Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM
2013-04-11 21:56:29 Saandra4 napisał(a):
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane (załącznik)
2013-04-11 22:26:47 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
an=a1 qn-1
a4=a1 q4-1
a4=a1 q3
-9=(1/3)*q3 |*3
-27=q3
-3=q
Czyli szukany ciąg geometryczny ma parametry: q=-3 ,
a1=1/3
Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny an to ciąg liczbowy, w którym spełniony jest warunek:Dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych dodatnich wartość an+1/an jest stała i równa q. Liczba q jest nazywana ilorazem ciągu geometrycznego.
Wzór na n-ty element ciągu geometrycznego
Wyznaczmy elementy a2, a3 i a4 w zależności od a1 i q:
a2/a1=q
Stąd: a2=a1·q
a3/a2=q
Stąd : a3=a2·q
czyli : a3=a1·q·q=a1·q2
a3=a1·q2
a4/a3=q
a4=a3·q
a4=a1·q2·q=a1·q3
a4=a1·q3
Łatwo wydedukować jaki będzie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
an=a1·qn-1
Przykład ciągu geometrycznego.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ...
Uzasadnienie:
128/64=2
64/32=2
32/16=2
16/8=2
8/4=2
4/2=2
Powyższy ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q=2.
Suma n pierwszych elementów ciągu geometrycznego.
Oto wzór na sumę n pierwszych elementów ciągu geometrycznego:
Gdzie : a1 - pierwszy element ciągu , q - iloraz ciągu
Suma elemnetów nieskończonego ciągu geometrycznego
Obliczmy granicę z Sn dla n -> ∞Jeśli |q|<1 to granica ta jest równa a1/(1-q)
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (6)
2013-03-20 20:03:24 ania napisał(a):
Tu są tylko trzy zadanka:D Zamknięte: 1.Liczby (2,x,8)tworzą ciąg geometryczny,który nie jest monotoniczny.Wówczas: a)x=4 b)x=-4 c)x=4 lub x=-4 d)x=5 Otwarte: 1.W ciągu geometrycznym q=4,S4=255. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu. 2.Ciąg (3,x+1,12)jest geometryczny. Wyznacz liczbę x.
2013-03-21 18:19:58 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 1 - zamknięte.
a) dla x=4 mamy ciąg geometryczny rosnący czyli monotoniczny, czyli 4 odpada.
b) dla x=-4 mamy ciąg geometryczny niemonotoniczny (raz rośnie a raz maleje). iloraz ciągu q=8/-4=-4/2=-2 - to jest właściwa odpowiedź.
c) ta odpowiedź odpada bo x nie może być =4 (patrz pkt.a)
d) dla x=5 mamy : 8/5=1.6 natomiast 5/2=2.5 czyli ta odp.jest zła.
2013-03-21 18:27:32 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 1 - otwarte.
S4 = a1 q3
255=a1 * 43
255=a1 * 64
a1 =255/64
2013-03-21 22:13:37 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Zadanie 2.
Jeśli (3,x+1,12) jest ciągiem geometrycznym to :
12/(x+1)=(x+1)/3
Zakładamy, że x+1 różne od 0 czyli x różne od -1.
12/(x+1)-(x+1)/3=0
12*3/[(x+1)*3]-(x+1)2/[(x+1)*3]=0
[36-(x+1)2]/[(x+1)*3]=0
[62-(x+1)2]/[(x+1)*3]=0
To równanie wymierne jest prawdziwe, gdy licznik będzie równy 0 a mianownik różny od 0. Stąd mamy:
62-(x+1)2=0
[6-(x+1)]*[6+(x+1)]=0
Stąd x=5 lub x=-7.
Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM
2013-04-11 21:56:29 Saandra4 napisał(a):
Wyznacz ciąg geometryczny mając dane (załącznik)
2013-04-11 22:26:47 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
an=a1 qn-1
a4=a1 q4-1
a4=a1 q3
-9=(1/3)*q3 |*3
-27=q3
-3=q
Czyli szukany ciąg geometryczny ma parametry: q=-3 ,
a1=1/3