Strona główna > Matematyka > Równania i nierówności > Równania wymierne
Gdzie W(x),Q(x) to wielomiany niewiadomej x.
Przy rozwiązywaniu równania wymiernego przekształcamy je do postaci równoważnej:
W(x)=0 ∧ Q(x)<>0
Należy rozwiązać równanie:
Rozwiązanie
W liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego znajdują się trójmiany kwadratowe. Rozkładamy je na czynniki:
Najpierw licznik:
delta=1-4*1*(-2)=1+8=9
pierwiastek z delty = 3
x1=(-1-3)/2=-4/2=-2
x2=(-1+3)/2=2/2=1
Następnie rozkładamy trójmian w mianowniku:
delta=16-4*1*3=16-12=4
pierwiastek z delty = 2
x1=(-4-2)/2=-6/2=-3
x2=(-4+2)/2=-2/2=-1
Stąd otrzymujemy równoważną postać danego równania wymiernego:
Stąd rozwiązanie naszego równania jest następujące:
(x=-2 ∨ x=1) ∧ x≠-3 ∧ x≠-1 co jest równoważne x=-2 ∨ x=1
Zadanie 2
Należy rozwiązać równanie:
Rozwiązanie
W liczniku wyłączamy x przed nawias:
Następnie rozkładamy trójmian kwadratowy w liczniku na czynniki:
delta = 12-4*1*(-6)=1+24=25
pierwiastek z delty = 5
x1=(-1-5)/2*1=-6/2=-3
x2=(-1+5)/2*1=4/2=2
Rozkładamy mianownik na czynniki:
delta=25-4*1*6=25-24=1
pierwiastek z delty = 1
x1=(-5-1)/2*1=-6/2=-3
x2=(-5+1)/2*1=-4/2=-2
Stąd otrzymujemy rozwiązanie: (x=0 ∨ x=2 ∨ x=-3) ∧ (x≠-3 ∨ x≠-2 ) co jest równoważne x=0 ∨ x=2
2015-12-06 16:24:19 Ewa napisał(a):
a jak rozwiązać równanie [(x+1)*(x+2)*...*(2n)]/(n*...*2*1) = 70
Równania wymierne
Równanie wymierne to równanie postaci:
Gdzie W(x),Q(x) to wielomiany niewiadomej x.
Przy rozwiązywaniu równania wymiernego przekształcamy je do postaci równoważnej:
W(x)=0 ∧ Q(x)<>0
Rozwiązywanie równań wymiernych
Aby rozwiązać równanie wymierne należy rozłożyć wielomiany W(x) i Q(x) na czynniki. W zależności od sytuacji możemy tu zastosować techniki takie jak grupowanie czynników, dzielenie wielomianów czy stosowanie twierdzenia Bezouta. Następnie wyznaczamy miejsca zerowe wielomianów z licznika i mianownika wyrażenia wymiernego i na tej podstawie określamy zbiór rozwiązań równania wymiernego.Równania wymierne - zadanie
Zadanie 1Należy rozwiązać równanie:
Rozwiązanie
W liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego znajdują się trójmiany kwadratowe. Rozkładamy je na czynniki:
Najpierw licznik:
delta=1-4*1*(-2)=1+8=9
pierwiastek z delty = 3
x1=(-1-3)/2=-4/2=-2
x2=(-1+3)/2=2/2=1
Następnie rozkładamy trójmian w mianowniku:
delta=16-4*1*3=16-12=4
pierwiastek z delty = 2
x1=(-4-2)/2=-6/2=-3
x2=(-4+2)/2=-2/2=-1
Stąd otrzymujemy równoważną postać danego równania wymiernego:
Stąd rozwiązanie naszego równania jest następujące:
(x=-2 ∨ x=1) ∧ x≠-3 ∧ x≠-1 co jest równoważne x=-2 ∨ x=1
Zadanie 2
Należy rozwiązać równanie:
Rozwiązanie
W liczniku wyłączamy x przed nawias:
Następnie rozkładamy trójmian kwadratowy w liczniku na czynniki:
delta = 12-4*1*(-6)=1+24=25
pierwiastek z delty = 5
x1=(-1-5)/2*1=-6/2=-3
x2=(-1+5)/2*1=4/2=2
Rozkładamy mianownik na czynniki:
delta=25-4*1*6=25-24=1
pierwiastek z delty = 1
x1=(-5-1)/2*1=-6/2=-3
x2=(-5+1)/2*1=-4/2=-2
Stąd otrzymujemy rozwiązanie: (x=0 ∨ x=2 ∨ x=-3) ∧ (x≠-3 ∨ x≠-2 ) co jest równoważne x=0 ∨ x=2
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (1)
2015-12-06 16:24:19 Ewa napisał(a):
a jak rozwiązać równanie [(x+1)*(x+2)*...*(2n)]/(n*...*2*1) = 70