Strona główna > Matematyka > Równania i nierówności > Równania wielomianowe
Liczba naturalna n nazywana jest stopniem równania , liczby an, an-1, an-2 ,...,a2,a1, a0 to współczynniki równania , a0 - bywa często nazywany wyrazem wolnym.
3x3+2x2-x+8=0
W(x)=x3+2x2-x-2
W(x)=x2(x+2) -1(x+2)
W(x)=(x2-1)(x+2)
W(x)=(x-1)(x+1)(x+2)
Otrzymany iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd otrzymujemy rozwiązanie równania wielomianowego:
W(x)=0 <=> x=1 lub x=-1 lub x=-2
Przykład zastosowania twierdzenia.
Należy rozwiązać równanie x3+2x2-5x-6=0.
Wyznaczamy wszystkie możliwe dzielniki wyrazu wolnego a0:
p={-1,1,-2,2,-3,3,-6,6}
Wyznaczamy wszystkie możliwe dzielniki an:
q={-1,1}
Następnie sprawdzamy pary p/q w poszukiwaniu pierwiastka równania:
p/q=-1/-1 = 1
13+2 * 1 2-5 * 1-6 = 1+2-5-6=-8
Wniosek: liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.
p/q=-1/1=-1
(-1)3+2 * (-1)2-5 * (-1)-6 = -1+2+5-6=0
Wniosek: liczba -1 jest pierwiastkiem równania.
Super! - Znaleźliśmy pierwszy pierwiastek równania! Teraz pójdzie już łatwo! Możemy wykonać dzielenie wielomianów i otrzymamy równanie kwadratowe. Możemy także poszukiwać pozostałych pierwiastków podstawiając kolejne wartości p/q. Tak też zrobimy:
p/q=-2/-1=2
23+2 * 22-5 * 2-6 = 8+8-10-6=16-16=0
Znaleźliśmy następny pierwiastek! Został jeszcze jeden do znalezienia.
p/q=-2/1=-2
(-2)3+2 * (-2)2-5 * (-2)-6 = -8+8+10-6=4
Liczba -2 nie jest więc pierwiastkiem danego równania.
p/q=-3/-1=3
(3)3+2 * 32-5 * 3-6 = 27+18-15-6=24
Liczba 3 nie jest więc pierwiastkiem danego równania.
p/q=-3/1=-3
(-3)3+2 * (-3)2-5 * (-3)-6 = -27+18+15-6=0
Liczba -3 jest więc pierwiastkiem danego równania.
Podsumowując rozwiązaniami danego równania są liczby:-1,2,-3
Każde równanie wielomianowe stopnia nieparzystego ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Liczba pierwiastków dodatnich jest taka sama jak liczba zmian znaków w ciągu współczynników an, an-1, an-2 ,...,a0 lub mniejsza o liczbę parzystą. Na przykład równanie: x5+2x4+6x3+2x2+9x+4=0 nie będzie posiadać pierwiastków dodatnich bo liczba zmian znaków współczynników jest równa 0 (wszystkie współczynniki są dodatnie).
Aby wyznaczyć liczbę pierwiastków ujemnych podstawiamy w miejsce x wartość -x w równaniu wielomianowym i badamy ilość zmian znaków kolejnych współczynników an, an-1, an-2 ,...,a0. Liczba pierwiastków ujemnych jest taka sama jak ilość zmian znaków lub mniejsza o liczbę parzystą.
Należy rozwiązać równanie:
x3+2x2-3x=0
Rozwiązanie
Rozkładamy wielomian na czynniki:
x3+2x2-3x=0
x(x2+2x-3)=0
Dla trójmianu kwadratowego wyznaczamy wyróżnik delta:
delta=4-4*1*(-3)=4+12=16
pierwiastek z delty = 4
x1=(-2-4)/2=-3
x2=(-2+4)/2=1
x(x-1)(x+3)=0
Rozwiązanie: x=0 lub x=1 lub x=-3
2012-07-17 16:21:45 farnoholik napisał(a):
Trochę mało przydatny, ale dobry.
2013-02-28 18:19:56 Ryba napisał(a):
2013-04-15 17:11:35 ola napisał(a):
1-0,2x=-0,3 Jak to zrobić?
2013-04-15 21:40:35 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Oto rozwiązanie:
1-0,2x=-0,3
1+0,3=0,2x
1,3=0,2x |:0,2
x = 6,5
Równania wielomianowe
Równanie wielomianowe to równanie postaci:
Liczba naturalna n nazywana jest stopniem równania , liczby an, an-1, an-2 ,...,a2,a1, a0 to współczynniki równania , a0 - bywa często nazywany wyrazem wolnym.
Przykłady równań wielomianowych
2x5-4x3+5x2-x+1=03x3+2x2-x+8=0
Rozwiązywanie równań wielomianowych
Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy rozłożyć wielomian W(x) na czynniki. Wykonujemy to stosując typowe techniki takie jak grupowanie czynników, dzielenie wielomianów czy stosowanie twierdzenia Bezouta. Poniżej prezentujemy rozkład wielomianu na czynniki poprzez grupowanie czynników:W(x)=x3+2x2-x-2
W(x)=x2(x+2) -1(x+2)
W(x)=(x2-1)(x+2)
W(x)=(x-1)(x+1)(x+2)
Otrzymany iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd otrzymujemy rozwiązanie równania wielomianowego:
W(x)=0 <=> x=1 lub x=-1 lub x=-2
Pierwiastki równań wielomianowych - ważne twierdzenie
Jeśli p/q jest nieskracalnym ułamkiem i pierwiastkiem równania, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 a q jest dzielnikiem an.Przykład zastosowania twierdzenia.
Należy rozwiązać równanie x3+2x2-5x-6=0.
Wyznaczamy wszystkie możliwe dzielniki wyrazu wolnego a0:
p={-1,1,-2,2,-3,3,-6,6}
Wyznaczamy wszystkie możliwe dzielniki an:
q={-1,1}
Następnie sprawdzamy pary p/q w poszukiwaniu pierwiastka równania:
p/q=-1/-1 = 1
13+2 * 1 2-5 * 1-6 = 1+2-5-6=-8
Wniosek: liczba 1 nie jest pierwiastkiem równania.
p/q=-1/1=-1
(-1)3+2 * (-1)2-5 * (-1)-6 = -1+2+5-6=0
Wniosek: liczba -1 jest pierwiastkiem równania.
Super! - Znaleźliśmy pierwszy pierwiastek równania! Teraz pójdzie już łatwo! Możemy wykonać dzielenie wielomianów i otrzymamy równanie kwadratowe. Możemy także poszukiwać pozostałych pierwiastków podstawiając kolejne wartości p/q. Tak też zrobimy:
p/q=-2/-1=2
23+2 * 22-5 * 2-6 = 8+8-10-6=16-16=0
Znaleźliśmy następny pierwiastek! Został jeszcze jeden do znalezienia.
p/q=-2/1=-2
(-2)3+2 * (-2)2-5 * (-2)-6 = -8+8+10-6=4
Liczba -2 nie jest więc pierwiastkiem danego równania.
p/q=-3/-1=3
(3)3+2 * 32-5 * 3-6 = 27+18-15-6=24
Liczba 3 nie jest więc pierwiastkiem danego równania.
p/q=-3/1=-3
(-3)3+2 * (-3)2-5 * (-3)-6 = -27+18+15-6=0
Liczba -3 jest więc pierwiastkiem danego równania.
Podsumowując rozwiązaniami danego równania są liczby:-1,2,-3
Pierwiastki równań wielomianowych - ciekawostki
Liczba pierwiastków rzeczywistych jest równa stopniowi wielomianu lub mniejsza o liczbę parzystą. Na przykład równanie stopnia trzeciego ma 3 lub 1 pierwiastek, równanie stopnia szóstego ma 6 lub 4 lub 2 lub 0 rozwiązań.Każde równanie wielomianowe stopnia nieparzystego ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Liczba pierwiastków dodatnich jest taka sama jak liczba zmian znaków w ciągu współczynników an, an-1, an-2 ,...,a0 lub mniejsza o liczbę parzystą. Na przykład równanie: x5+2x4+6x3+2x2+9x+4=0 nie będzie posiadać pierwiastków dodatnich bo liczba zmian znaków współczynników jest równa 0 (wszystkie współczynniki są dodatnie).
Aby wyznaczyć liczbę pierwiastków ujemnych podstawiamy w miejsce x wartość -x w równaniu wielomianowym i badamy ilość zmian znaków kolejnych współczynników an, an-1, an-2 ,...,a0. Liczba pierwiastków ujemnych jest taka sama jak ilość zmian znaków lub mniejsza o liczbę parzystą.
Równania wielomianowe - zadanie
Zadanie 1Należy rozwiązać równanie:
x3+2x2-3x=0
Rozwiązanie
Rozkładamy wielomian na czynniki:
x3+2x2-3x=0
x(x2+2x-3)=0
Dla trójmianu kwadratowego wyznaczamy wyróżnik delta:
delta=4-4*1*(-3)=4+12=16
pierwiastek z delty = 4
x1=(-2-4)/2=-3
x2=(-2+4)/2=1
x(x-1)(x+3)=0
Rozwiązanie: x=0 lub x=1 lub x=-3
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (4)
2012-07-17 16:21:45 farnoholik napisał(a):
Trochę mało przydatny, ale dobry.
2013-02-28 18:19:56 Ryba napisał(a):
2013-04-15 17:11:35 ola napisał(a):
1-0,2x=-0,3 Jak to zrobić?
2013-04-15 21:40:35 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Oto rozwiązanie:
1-0,2x=-0,3
1+0,3=0,2x
1,3=0,2x |:0,2
x = 6,5