Strona główna > Matematyka > Wartość bezwzględna > Wartość bezwzględna
Przykłady wartości bezwzględnych z liczb: |4.3|=4.3 , |0|=0 , |-10|=10. Jeśli pod wartością bezwzględną znajduje się wyrażenie, które zawsze jest większe lub równe 0 wówczas wartość bezwzględną można opuścić. Oto przykład takiej sytuacji |x2+1|=x2+1. Jeśli pod wartością bezwzględną jest wyrażenie , które jest zawsze ujemne wówczas wartość bezwzględna z niego będzie równa wyrażeniu przeciwnemu. Oto przykład takiej sytuacji: |-x4-10|=-(-x4-10)=x4+10. Wartość bezwzględna z liczby a może być interpretowana jako odległość liczby a od punktu 0 na osi liczbowej. Prawdziwy jest także wzór:
Sprawdźmy powyższy wzór dla dwu liczb. Dla a=-2 otrzymujemy: a2=(-2)2=4, pierwiastek kwadratowy z 4 =2. Tyle samo wynosi wartość bezwzględna z -2, czyli wzór jest prawdziwy dla a=-2. Dla a=3 otrzymujemy: a2=32=9, pierwiastek kwadratowy z 9 =3 czyli tyle ile |3|. Wzór jest zatem prawdziwy dla a=3. Jest on także prawdziwy dla 0.
Następnie przekształcamy otrzymany wykres tak jak opisano wcześniej:
Otrzymany wykres jest wykresem funkcji y=|x2-1|.
Jeśli funkcja nie ma postaci y=|f(x)| wówczas otrzymanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną może być troszkę bardziej kłopotliwe. Weźmy pod uwagę funkcję y=|x-1|+|x-3|. Aby narysować jej wykres musimy rozpatrzyć ją w odpowiednich przedziałach. Przedziały te będą wyznaczane przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. W naszym przypadku musimy rozwiązać dwa proste równania:
x-1=0
x-3=0
Stąd otrzymujemy x=1 lub x=3. Oznacza to, że dla podanej funkcji musimy rozpatrzyć przypadki:
x należy do (-∞ , 1)
x należy do < 1 , 3)
x należy do < 3, + ∞)
To, które przedziały będą "ostre" nie jest przypadkowe: na przykład punkt x=1 należy do przedziału < 1 , 3) dlatego, że w tym przedziale x-1 jest dodatnie i punkt, dla którego x-1 jest równe 0 powinien należeć do tego przedziału. Rozpatrzmy zatem funkcję f(x) w danych przedziałach:
x należy do (-∞ , 1)
Wówczas obydwa wyrażenia : x-1 i x-3 są ujemne. Zatem w tym przedziale funkcja ma postać:
y=|x-1| + |x-3|=-(x-1)-(x-3)=-x+1-x+3=-2x+4
x należy do < 1 , 3)
Wówczas wyrażenie x-1>=0 a x-3 < 0. Z tego względu w tym przedziale funkcja ma postać:
y=|x-1| + |x-3|=x-1-(x-3)=x-1-x+3=2
x należy do < 3, + ∞)
Wówczas obydwa wyrażenia x-1 i x-3 są większe lub równe 0. Dlatego funkcja f(x) ma postać:
y=|x-1| + |x-3|=x-1+x-3=x+1+x-3=2x-2
Po wykreśleniu tych funkcji w odpowiednich przedziałach otrzymujemy wykres:
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi:
2x-2=0
x=1
x+3=0
x=-3
Następnie rozpatrujemy równanie w następujących przedziałach:
x należy do ( -∞ , -3 )
x należy do < -3 , 1 )
x należy do < 1 , +∞)
x należy do ( -∞ , -3 )
W tym przedziale obydwa wyrażenia są ujemne stąd:
|2x-2|=-(2x-2)=2-2x
|x+3| = -(x+3) = -x-3
|2x-2|+|x+3| = 2-2x-x-3=-1-3x=4
-3x=5
x=-5/3
Liczba -5/3 nie należy do przedziału (-∞, -3)
x należy do < -3 , 1)
W tym przedziale wyrażenie |2x-2| jest ujemne a wyrażenie |x+3| jest >=0. Dlatego:
|2x-2|=-(2x-2)
|x+3| = x+3
Stąd otrzymujemy:
-(2x-2)+x+3=4
-2x+2+x+3=4
-x+5=4
x=1
x=1 nie należy do przedziału < -3 , 1).
x należy do < 1 , ∞)
W tym przedziale wyrażenie |2x-2| oraz |x+3| jest >=0 . Dlatego:
|2x-2|=2x-2
|x+3| = x+3
Stąd otrzymujemy:
|2x-2|+|x+3| =2x-2+x+3=3x+1=4
3x=3
x=1
x=1 należy do przedziału < 1 , ∞) i jest to rozwiązanie naszego równania.
W pierwszej kolejności kolejności wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi:
x-1=0
x=1
x+2=0
x=-2
Teraz rozpatrujemy nierówność w trzech przedziałach:
x należy do (- ∞ , -2)
W tym przedziale mamy:
-(x-1)-(x+2)>5
-x+1-x-2>5
-2x>5+1
-2x>6
x < -3
i x należy do (- ∞ , -2) , stąd x należy do (- ∞ , -3)
x należy do < - 2, 1)
W tym przedziale mamy:
-(x-1)+x+2 > 5
-x+1+x+2 > 5
3 > 5 - sprzeczność
x należy do < 1, ∞)
W tym przedziale otrzymujemy:
x-1+x+2 > 5
2x > 4
x > 2 i x należy do < 1, ∞) to x>2
Stąd rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów:
x należy do (- ∞ , -3) lub ( 2, ∞)
Wartość bezwzględna - definicja
Wartość bezwzględna z liczby a jest równa a wtedy i tylko wtedy gdy a>=0 lub -a gdy a < 0. Można zapisać to następująco:
Przykłady wartości bezwzględnych z liczb: |4.3|=4.3 , |0|=0 , |-10|=10. Jeśli pod wartością bezwzględną znajduje się wyrażenie, które zawsze jest większe lub równe 0 wówczas wartość bezwzględną można opuścić. Oto przykład takiej sytuacji |x2+1|=x2+1. Jeśli pod wartością bezwzględną jest wyrażenie , które jest zawsze ujemne wówczas wartość bezwzględna z niego będzie równa wyrażeniu przeciwnemu. Oto przykład takiej sytuacji: |-x4-10|=-(-x4-10)=x4+10. Wartość bezwzględna z liczby a może być interpretowana jako odległość liczby a od punktu 0 na osi liczbowej. Prawdziwy jest także wzór:
Sprawdźmy powyższy wzór dla dwu liczb. Dla a=-2 otrzymujemy: a2=(-2)2=4, pierwiastek kwadratowy z 4 =2. Tyle samo wynosi wartość bezwzględna z -2, czyli wzór jest prawdziwy dla a=-2. Dla a=3 otrzymujemy: a2=32=9, pierwiastek kwadratowy z 9 =3 czyli tyle ile |3|. Wzór jest zatem prawdziwy dla a=3. Jest on także prawdziwy dla 0.
Wartość bezwzględna - wykresy funkcji
Jeśli przepis funkcji ma postać y=|f(x)| wówczas narysowanie wykresu jest łatwe pod warunkiem, że łatwe jest narysowanie wykresu y=f(x). Wystarczy naszkicować wykres funkcji y=f(x) i przekształcić w symetrii względem osi OX te części wykresu, które znajdują się pod osią X. Oto przykład y=|x2-1|. W pierwszej kolejności rysujemy wykres funkcji y=x2-1:
Następnie przekształcamy otrzymany wykres tak jak opisano wcześniej:
Otrzymany wykres jest wykresem funkcji y=|x2-1|.
Jeśli funkcja nie ma postaci y=|f(x)| wówczas otrzymanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną może być troszkę bardziej kłopotliwe. Weźmy pod uwagę funkcję y=|x-1|+|x-3|. Aby narysować jej wykres musimy rozpatrzyć ją w odpowiednich przedziałach. Przedziały te będą wyznaczane przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. W naszym przypadku musimy rozwiązać dwa proste równania:
x-1=0
x-3=0
Stąd otrzymujemy x=1 lub x=3. Oznacza to, że dla podanej funkcji musimy rozpatrzyć przypadki:
x należy do (-∞ , 1)
x należy do < 1 , 3)
x należy do < 3, + ∞)
To, które przedziały będą "ostre" nie jest przypadkowe: na przykład punkt x=1 należy do przedziału < 1 , 3) dlatego, że w tym przedziale x-1 jest dodatnie i punkt, dla którego x-1 jest równe 0 powinien należeć do tego przedziału. Rozpatrzmy zatem funkcję f(x) w danych przedziałach:
x należy do (-∞ , 1)
Wówczas obydwa wyrażenia : x-1 i x-3 są ujemne. Zatem w tym przedziale funkcja ma postać:
y=|x-1| + |x-3|=-(x-1)-(x-3)=-x+1-x+3=-2x+4
x należy do < 1 , 3)
Wówczas wyrażenie x-1>=0 a x-3 < 0. Z tego względu w tym przedziale funkcja ma postać:
y=|x-1| + |x-3|=x-1-(x-3)=x-1-x+3=2
x należy do < 3, + ∞)
Wówczas obydwa wyrażenia x-1 i x-3 są większe lub równe 0. Dlatego funkcja f(x) ma postać:
y=|x-1| + |x-3|=x-1+x-3=x+1+x-3=2x-2
Po wykreśleniu tych funkcji w odpowiednich przedziałach otrzymujemy wykres:
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
Przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną metodą, która jest uniwersalna jest wyznaczanie miejsc zerowych wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi i rozpatrywanie równania w odpowiednich przedziałach. Najlepiej pokazać to na przykładzie. Rozwiążmy równanie: |2x-2|+|x+3|=4.Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi:
2x-2=0
x=1
x+3=0
x=-3
Następnie rozpatrujemy równanie w następujących przedziałach:
x należy do ( -∞ , -3 )
x należy do < -3 , 1 )
x należy do < 1 , +∞)
x należy do ( -∞ , -3 )
W tym przedziale obydwa wyrażenia są ujemne stąd:
|2x-2|=-(2x-2)=2-2x
|x+3| = -(x+3) = -x-3
|2x-2|+|x+3| = 2-2x-x-3=-1-3x=4
-3x=5
x=-5/3
Liczba -5/3 nie należy do przedziału (-∞, -3)
x należy do < -3 , 1)
W tym przedziale wyrażenie |2x-2| jest ujemne a wyrażenie |x+3| jest >=0. Dlatego:
|2x-2|=-(2x-2)
|x+3| = x+3
Stąd otrzymujemy:
-(2x-2)+x+3=4
-2x+2+x+3=4
-x+5=4
x=1
x=1 nie należy do przedziału < -3 , 1).
x należy do < 1 , ∞)
W tym przedziale wyrażenie |2x-2| oraz |x+3| jest >=0 . Dlatego:
|2x-2|=2x-2
|x+3| = x+3
Stąd otrzymujemy:
|2x-2|+|x+3| =2x-2+x+3=3x+1=4
3x=3
x=1
x=1 należy do przedziału < 1 , ∞) i jest to rozwiązanie naszego równania.
Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną
Rozwiążmy nierówność |x-1|+|x+2| > 5.W pierwszej kolejności kolejności wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi:
x-1=0
x=1
x+2=0
x=-2
Teraz rozpatrujemy nierówność w trzech przedziałach:
x należy do (- ∞ , -2)
W tym przedziale mamy:
-(x-1)-(x+2)>5
-x+1-x-2>5
-2x>5+1
-2x>6
x < -3
i x należy do (- ∞ , -2) , stąd x należy do (- ∞ , -3)
x należy do < - 2, 1)
W tym przedziale mamy:
-(x-1)+x+2 > 5
-x+1+x+2 > 5
3 > 5 - sprzeczność
x należy do < 1, ∞)
W tym przedziale otrzymujemy:
x-1+x+2 > 5
2x > 4
x > 2 i x należy do < 1, ∞) to x>2
Stąd rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów:
x należy do (- ∞ , -3) lub ( 2, ∞)