Strona główna > Matematyka > Równania i nierówności > Równanie okręgu
Równanie okręgu ma postać:
(x-xs)2+(y-ys)2=r2
Gdzie : r - promień okręgu , (xs,ys) - współrzędne środka okręgu
Rozpatrzmy pokazany rysunek. Odcinki |SA| i |PA| mają długości:
|SA|=|x-xs|
|PA|=|y-ys|
Dla narysowanego trójkąta prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa:
|SA|2+|PA|2=r2
Stąd otrzymujemy:
(x-xs)2+(y-ys)2=r2
Dla okręgu o równaniu x2+y2-2x-4y-95=0 podaj współrzędne jego środka i długość promienia.
Rozwiązanie
Zapisujemy podane równanie okręgu w taki sposób aby można zastosować odpowiednie wzory skróconego mnożenia (kwadrat sumy lub różnicy):
x2+y2-2x-4y-95=0
(x2-2x+1)+(y2-4y+4)-100=0
(x-1)2+(y-2)2=100
(x-1)2+(y-2)2=102
Teraz już łatwo odczytać współrzędne środka okręgu i promień:
S(1,2) i r=10
Zadanie 2
Dla jakiej wartości parametru a prosta y=x+a ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem o równaniu x2+y2=1 ?
Rozwiązanie
Rozwiązujemy układ równań:
y=x+a
x2+y2=1
Po wstawieniu x+a za y do drugiego równania otrzymujemy równanie kwadratowe:
x2+(x+a)2=1
2x2+2ax+a2-1=0
delta=(2a)2-4*2*(a2-1)=8-4a2
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie otrzymane równanie kwadratowe musi mieć jedno rozwiązanie:
delta=8-4a2=0
8-4a2=0 |:2
2-a2=0
Stąd a= +/- pierwiastekz(2)
Zadanie 3
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(-2,-5) i promieniu r=9.
Rozwiązanie
Podstawiając do wzoru otrzymujemy:
(x+2)2+(y+5)2=92
(x+2)2+(y+5)2=81
Równanie okręgu
Równanie okręgu ma postać:
(x-xs)2+(y-ys)2=r2
Gdzie : r - promień okręgu , (xs,ys) - współrzędne środka okręgu
Rozpatrzmy pokazany rysunek. Odcinki |SA| i |PA| mają długości:
|SA|=|x-xs|
|PA|=|y-ys|
Dla narysowanego trójkąta prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa:
|SA|2+|PA|2=r2
Stąd otrzymujemy:
(x-xs)2+(y-ys)2=r2
Równanie okręgu - zadania
Zadanie 1Dla okręgu o równaniu x2+y2-2x-4y-95=0 podaj współrzędne jego środka i długość promienia.
Rozwiązanie
Zapisujemy podane równanie okręgu w taki sposób aby można zastosować odpowiednie wzory skróconego mnożenia (kwadrat sumy lub różnicy):
x2+y2-2x-4y-95=0
(x2-2x+1)+(y2-4y+4)-100=0
(x-1)2+(y-2)2=100
(x-1)2+(y-2)2=102
Teraz już łatwo odczytać współrzędne środka okręgu i promień:
S(1,2) i r=10
Zadanie 2
Dla jakiej wartości parametru a prosta y=x+a ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem o równaniu x2+y2=1 ?
Rozwiązanie
Rozwiązujemy układ równań:
y=x+a
x2+y2=1
Po wstawieniu x+a za y do drugiego równania otrzymujemy równanie kwadratowe:
x2+(x+a)2=1
2x2+2ax+a2-1=0
delta=(2a)2-4*2*(a2-1)=8-4a2
Aby układ równań miał jedno rozwiązanie otrzymane równanie kwadratowe musi mieć jedno rozwiązanie:
delta=8-4a2=0
8-4a2=0 |:2
2-a2=0
Stąd a= +/- pierwiastekz(2)
Zadanie 3
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(-2,-5) i promieniu r=9.
Rozwiązanie
Podstawiając do wzoru otrzymujemy:
(x+2)2+(y+5)2=92
(x+2)2+(y+5)2=81