Strona główna > Matematyka > Wielomiany > Pierwiastek wielomianu
W(x0)=0
Aby sprawdzić czy dana liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wystarczy podstawić za niewiadomą liczbę a i sprawdzić czy w wyniku otrzymujemy 0. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian ten jest podzielny przez dwumian (x-a).
Przykład 1
Sprawdź czy liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x3 + 2 x2 -x-2.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać zadanie podstawiamy za x liczbę 1:
W(1)=13 + 2 * 12 -1-2=1+2-1-2=0
Liczba 1 zeruje wielomian - jest więc jego pierwiastkiem.
Przykład 2
Udowodnij, że liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4-3 x +2
Rozwiązanie
Sprawdzamy ile wynosi W(0):
W(0) = 04-3 * 0 +2 = 2
Widać więc, że liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Przykład 3
Dany jest wielomian W(x)=x3-2x2+ax+b. Wyznacz a i b wiedząc, że pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby 1 i 2.
Rozwiązanie
Jeśli pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby 1 i 2, to prawdziwe są równania:
W(1)=13-2*12+a*1+b=0
W(2)=23-2*22+a*2+b=0
Stąd otrzymujemy układ równań:
1-2+a+b=0
8-8+2a+b=0
-1+a+b=0
2a+b=0
-1+a+b=0
b=-2a
-1+a-2a=0
b=-2a
a=-1
b=-2*(-1)=2
a=-1
b=2
Przykład 4
Wyznacz pierwiastki wielomianu: W(x) = x3 - 2 x 2-3x.
Rozwiązanie
W pierwszej kolejności wyciągamy przed nawias x:
W(x) =x(x2-2x-3)
Następnie rozkładamy trójmian kwadratowy na czynniki:
delta = (-2)2-4*1*(-3)=4+12=16
pierwiastek z delty = 4
x1 = (2-4)/2=-2/2=-1
x2 = (2+4)/2=6/2=3
Pierwiastki wielomianu W(x) to liczby 0,-1,3.
2012-11-26 17:46:32 hehe napisał(a):
I tak z tego nic nie wiem a jutro mam kartkówkę!!!:D
2012-12-07 20:42:07 Zibi ;D napisał(a):
hahah to samo chciałem napisać ;DD Tylko, że ja mam kolokwium^^
2013-05-03 19:14:17 Maturzystka napisał(a):
Właśnie znalazłam zadanie o treści:
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x3 - 4x2 + x -4 jest liczba:
a. 1
b. -4
c. 4
d -1
Rozwiązując to zadanie wyszło mi, że x=4 v x=-1 v x=1
Nie mam pojęcia jaka jest prawidłowa odpowiedź. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam :)
2013-05-03 19:54:27 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Podane równanie ma tylko jedno rozwiązanie 4. W Twoim rozwiązaniu gdzieś z x2+1 musiało się zrobić x2-1 - stąd musiały się wziąć dwa dodatkowe rozwiązania :1 i -1. W załączniku jest całe rozwiązanie.
Pozdrawiam - Marcin
2013-05-03 23:21:04 Maturzystka napisał(a):
Mój błąd polegał na tym, że z pośpiechu napisałam, że x2=-1 co jest przecież sprzecznością.
Dziękuję za rozwiązanie :)
Natalia
2013-05-03 23:52:54 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Czyli wszystko jasne :-) Nie wiem czy wiesz o tym, że istnieje taki zbiór liczb, w którym równanie x2=-1 nie jest sprzeczne. Jest to zbiór liczb zespolonych Z. Ale to tylko jako ciekawostka - w zbiorze R oczywiście to równanie nie ma rozwiązań. Powodzenia na maturze :-) Pozdrawiam - Marcin
Pierwiastek wielomianu
Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę x0, która ten wielomian zeruje. Zachodzi więc równość :W(x0)=0
Aby sprawdzić czy dana liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wystarczy podstawić za niewiadomą liczbę a i sprawdzić czy w wyniku otrzymujemy 0. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian ten jest podzielny przez dwumian (x-a).
Przykład 1
Sprawdź czy liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x3 + 2 x2 -x-2.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać zadanie podstawiamy za x liczbę 1:
W(1)=13 + 2 * 12 -1-2=1+2-1-2=0
Liczba 1 zeruje wielomian - jest więc jego pierwiastkiem.
Przykład 2
Udowodnij, że liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4-3 x +2
Rozwiązanie
Sprawdzamy ile wynosi W(0):
W(0) = 04-3 * 0 +2 = 2
Widać więc, że liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Przykład 3
Dany jest wielomian W(x)=x3-2x2+ax+b. Wyznacz a i b wiedząc, że pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby 1 i 2.
Rozwiązanie
Jeśli pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby 1 i 2, to prawdziwe są równania:
W(1)=13-2*12+a*1+b=0
W(2)=23-2*22+a*2+b=0
Stąd otrzymujemy układ równań:
1-2+a+b=0
8-8+2a+b=0
-1+a+b=0
2a+b=0
-1+a+b=0
b=-2a
-1+a-2a=0
b=-2a
a=-1
b=-2*(-1)=2
a=-1
b=2
Przykład 4
Wyznacz pierwiastki wielomianu: W(x) = x3 - 2 x 2-3x.
Rozwiązanie
W pierwszej kolejności wyciągamy przed nawias x:
W(x) =x(x2-2x-3)
Następnie rozkładamy trójmian kwadratowy na czynniki:
delta = (-2)2-4*1*(-3)=4+12=16
pierwiastek z delty = 4
x1 = (2-4)/2=-2/2=-1
x2 = (2+4)/2=6/2=3
Pierwiastki wielomianu W(x) to liczby 0,-1,3.
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (6)
2012-11-26 17:46:32 hehe napisał(a):
I tak z tego nic nie wiem a jutro mam kartkówkę!!!:D
2012-12-07 20:42:07 Zibi ;D napisał(a):
hahah to samo chciałem napisać ;DD Tylko, że ja mam kolokwium^^
2013-05-03 19:14:17 Maturzystka napisał(a):
Właśnie znalazłam zadanie o treści:
Pierwiastkiem wielomianu W(x)=x3 - 4x2 + x -4 jest liczba:
a. 1
b. -4
c. 4
d -1
Rozwiązując to zadanie wyszło mi, że x=4 v x=-1 v x=1
Nie mam pojęcia jaka jest prawidłowa odpowiedź. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam :)
2013-05-03 19:54:27 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Podane równanie ma tylko jedno rozwiązanie 4. W Twoim rozwiązaniu gdzieś z x2+1 musiało się zrobić x2-1 - stąd musiały się wziąć dwa dodatkowe rozwiązania :1 i -1. W załączniku jest całe rozwiązanie.
Pozdrawiam - Marcin
2013-05-03 23:21:04 Maturzystka napisał(a):
Mój błąd polegał na tym, że z pośpiechu napisałam, że x2=-1 co jest przecież sprzecznością.
Dziękuję za rozwiązanie :)
Natalia
2013-05-03 23:52:54 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Czyli wszystko jasne :-) Nie wiem czy wiesz o tym, że istnieje taki zbiór liczb, w którym równanie x2=-1 nie jest sprzeczne. Jest to zbiór liczb zespolonych Z. Ale to tylko jako ciekawostka - w zbiorze R oczywiście to równanie nie ma rozwiązań. Powodzenia na maturze :-) Pozdrawiam - Marcin