Strona główna > Matematyka > Równania i nierówności > Nierówności wielomianowe
W(x) > 0
W(x) >= 0
W(x) < 0
W(x) <= 0
Oto przykłady nierówności wielomianowych:
x3-x < 0
x3+3x2+2x >0
1. Obliczyć granice wielomianu W(x) dla x -> ∞ i dla x -> -∞ . Wartości tych granic będą równe ∞ lub -∞. Zasada jest następująca: jeśli najwyższa potęga wielomianu (stopień) jest parzysta i współczynnik przy najwyższej potędze < 0 to obydwie granice = ∞ , jeśli wsp. < 0 to obydwie granice = -∞ . Jeśli najwyższa potęga wielomianu (stopień) jest nieparzysta i współczynnik jest ujemny wówczas granica dla x->-∞ = ∞ i x->∞ = -∞. Jeśli współczynnik jest dodatni wówczas dla x->-∞ = -∞ i x->∞ = ∞.
2. Rozłożyć wielomian W(x) na czynniki (wyznaczyć jego miejsca zerowe);
3. Na podstawie punktów 1-2 naszkicować przybliżony wykres funkcji f(x)=W(x). Przy szkicowaniu wykresu należy pamiętać, że jeśli wielomian ma pierwiastek x0 n-krotny to jeśli n jest liczbą parzystą to wykres "odbija się" od osi X (jest styczny do niej) dla x=x0. Jeśli zaś n jest liczbą nieparzystą to wykres przecina oś X dla x=x0.
x3+3x2+2x >0
Rozwiązanie
1. Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i współczynnik przy najwyższej potędze =1 >0 to granice są równe: dla x->-∞ = -∞ i x->∞ = ∞.
2. Rozkładamy wielomian na czynniki. Wyłączamy x:
x3+3x2+2x = x(x2+3x+2)
Trójmian kwadratowy rozkładamy na czynniki:
x2+3x+2
delta = 9 - 4 * 1 * 2=9-8=1
pierwiastek z delta=1
x1=(-3-1)/2=-4/2=-2
x2 = (-3+1)/2=-2/2=-1
Stąd:
x(x2+3x+2) = x(x+1)(x+2)
3. Szkicujemy wykres funkcji f(x)=W(x):
Ponieważ dla x->-∞ W(x) -> -∞ dlatego wykres z lewej strony opada w dół. Ponieważ dla x ->∞ W(x) -> ∞ dlatego wykres z prawej strony zmierza ku górze.
Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności: x należy do przedziału (-2,-1) lub x >0.
Nierówności wielomianowe
Nierówność wielomianowa to taka nierówność, w której lewa strona jest wielomianem:W(x) > 0
W(x) >= 0
W(x) < 0
W(x) <= 0
Oto przykłady nierówności wielomianowych:
x3-x < 0
x3+3x2+2x >0
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
Aby rozwiązać nierówność wielomianową należy wykonać kilka kroków:1. Obliczyć granice wielomianu W(x) dla x -> ∞ i dla x -> -∞ . Wartości tych granic będą równe ∞ lub -∞. Zasada jest następująca: jeśli najwyższa potęga wielomianu (stopień) jest parzysta i współczynnik przy najwyższej potędze < 0 to obydwie granice = ∞ , jeśli wsp. < 0 to obydwie granice = -∞ . Jeśli najwyższa potęga wielomianu (stopień) jest nieparzysta i współczynnik jest ujemny wówczas granica dla x->-∞ = ∞ i x->∞ = -∞. Jeśli współczynnik jest dodatni wówczas dla x->-∞ = -∞ i x->∞ = ∞.
2. Rozłożyć wielomian W(x) na czynniki (wyznaczyć jego miejsca zerowe);
3. Na podstawie punktów 1-2 naszkicować przybliżony wykres funkcji f(x)=W(x). Przy szkicowaniu wykresu należy pamiętać, że jeśli wielomian ma pierwiastek x0 n-krotny to jeśli n jest liczbą parzystą to wykres "odbija się" od osi X (jest styczny do niej) dla x=x0. Jeśli zaś n jest liczbą nieparzystą to wykres przecina oś X dla x=x0.
Przykład nr 1 nierówności wielomianowej
Należy rozwiązać nierówność:x3+3x2+2x >0
Rozwiązanie
1. Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i współczynnik przy najwyższej potędze =1 >0 to granice są równe: dla x->-∞ = -∞ i x->∞ = ∞.
2. Rozkładamy wielomian na czynniki. Wyłączamy x:
x3+3x2+2x = x(x2+3x+2)
Trójmian kwadratowy rozkładamy na czynniki:
x2+3x+2
delta = 9 - 4 * 1 * 2=9-8=1
pierwiastek z delta=1
x1=(-3-1)/2=-4/2=-2
x2 = (-3+1)/2=-2/2=-1
Stąd:
x(x2+3x+2) = x(x+1)(x+2)
3. Szkicujemy wykres funkcji f(x)=W(x):
Ponieważ dla x->-∞ W(x) -> -∞ dlatego wykres z lewej strony opada w dół. Ponieważ dla x ->∞ W(x) -> ∞ dlatego wykres z prawej strony zmierza ku górze.
Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności: x należy do przedziału (-2,-1) lub x >0.