Strona główna > Matematyka > Funkcje > Funkcja odwrotna
1. Piszemy równanie y=f(x)
2. W równaniu z punktu pierwszego wyznaczamy x jako funkcję y i piszemy równanie x=h(x)
3. We wzorze z punktu drugiego zamieniamy niewiadome: x zamieniamy na y i na odwrót.
Jeśli dwie funkcje są względem siebie odwrotne to ich wykresy są symetryczne względem prostej y=x.
Należy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)=2x+4.
Rozwiązanie 1
Wykonujemy po kolei opisane trzy czynności:
1. y=2x+4
2.
y-4=2x
0.5y-2=x
x=0.5y-2
3.
y=0.5x-2
Funkcją odwrotną do y=2x+4 jest funkcja y=0.5x-2.
Obydwie funkcje są symetryczne w stosunku do siebie względem prostej y=x co pokazuje poniższy rysunek:
Przykład 2
Należy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)=x2 dla x>0.
Rozwiązanie
Wykonujemy po kolei opisane trzy czynności:
1. y=x2 i x>0
2.
Ponieważ obydwie strony równania są >=0 to wolno nam spierwiastkować obydwie strony równania. Pierwiastkujemy zatem obydwie strony równania:
√y=x
3.
y=√x
Funkcją odwrotną do y=x2 jest funkcja y=√x dla x>0.
Obydwie funkcje są symetryczne w stosunku do siebie względem prostej y=x co pokazuje poniższy rysunek:
2013-02-13 08:27:19 Julaa napisał(a):
w takim razie jak zrobić ten przykład ? f(x)=3x+e
2013-02-14 00:11:36 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj Julaa.
Robimy tak jak w przykładzie nr 1:
1. y=3x+e
2. wyznaczamy x:
y=3x+e
y-e=3x
(y-e)/3=x
3. zamieniamy niewiadome:
(x-e)/3=y
y=x/3 - e/3
Pozdrawiam
Marcin
2013-03-26 12:41:21 zorro napisał(a):
Witam.
Potrzebuje objaśnienia jak zrobić taki przykład inwersji funkcji: k(x)=5ln(√x+1)-6/-2
2013-03-26 17:10:46 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Możesz doprecyzować ten wzór? Powinno być:
k(x)=5ln(√x+1)+3
czy
k(x)=[5ln(√x+1)-6]/-2 = (-5/2)* ln(√x+1) +3 ?
Pozdrawiam Marcin
2013-03-31 15:25:58 Tynaa222 napisał(a):
Witam, a jak rysować te wykresy f-cji odwrotnych? po prostu trzeba wstawić liczby, czy jest na to jakiś inny sposób? Czy w przypadku trudniejszych funkcji (np. y= arcsin2(2ln(x)-1)też może być polecenie żeby narysować wykres? Bardzo proszę o odpowiedź
2013-03-31 17:00:32 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj
Przy rysowaniu funkcji prostych np.: funkcji liniowych można stosować wstawianie kolejnych liczb i łączenie odpowiednich punktów. Przy innych prostych funkcjach także stosuje się tą metodę w powiązaniu ze znajomością własności danej funkcji np.: rysując wykres funkcji y=x2-2 trzeba wiedzieć, że wykresem tej funkcji jest parabola, wiedzieć jakie są jej miejsca zerowe , wierzchołek i jak są skierowane ramiona paraboli (góra czy dół). Przy rysowaniu bardziej złożonych funkcji przydatna będzie także wiedza na temat przekształceń funkcji: przesunięcie wykresu o wektor o danych współrzędnych, symetria względem osi x i y. Przy rysowaniu jeszcze bardziej skomplikowanych funkcji najpierw wykonuje się badanie funkcji: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, liczy się pochodną i wartości x, dla których pochodna się zeruje, wyznaczamy wtedy maksima i minima i przedziały, w których funkcja maleje i rośnie, wreszcie wyznaczamy asymptoty funkcji. Wówczas wykres takiej funkcji można narysować. Podana przez Ciebie funkcja raczej kwalifikuje się do tej ostatniej grupy. Myślę, że taka funkcja może się pojawić w zadaniu z ostatnich klas szkoły średniej i na studiach.
Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM
2013-03-31 19:00:25 Tynaa222 napisał(a):
Ooo, bardzo dziekuję, o to właśnie mi chodziło
2013-03-31 21:08:13 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Proszę bardzo :-) Jeśli byś potrzebowała pomocy z jakimś konkretnym przykładem funkcji to możesz go dodać jako komentarz. Jeśli będę potrafił to postaram się pomóc.
Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM
2013-04-22 16:28:34 asiaa napisał(a):
Znaleźć funkcję odwrotną y= -x2 dla x < 0 i 2+x dla x> lub równych 0
BAaaaaardzo proszęo pomoc
2013-04-23 01:20:22 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Oto rozwiązanie:
Funkcja odwrotna.
Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x) należy wykonać trzy czynności:1. Piszemy równanie y=f(x)
2. W równaniu z punktu pierwszego wyznaczamy x jako funkcję y i piszemy równanie x=h(x)
3. We wzorze z punktu drugiego zamieniamy niewiadome: x zamieniamy na y i na odwrót.
Jeśli dwie funkcje są względem siebie odwrotne to ich wykresy są symetryczne względem prostej y=x.
Przykłady wyznaczania funkcji odwrotnych.
Przykład 1Należy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)=2x+4.
Rozwiązanie 1
Wykonujemy po kolei opisane trzy czynności:
1. y=2x+4
2.
y-4=2x
0.5y-2=x
x=0.5y-2
3.
y=0.5x-2
Funkcją odwrotną do y=2x+4 jest funkcja y=0.5x-2.
Obydwie funkcje są symetryczne w stosunku do siebie względem prostej y=x co pokazuje poniższy rysunek:
Przykład 2
Należy wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)=x2 dla x>0.
Rozwiązanie
Wykonujemy po kolei opisane trzy czynności:
1. y=x2 i x>0
2.
Ponieważ obydwie strony równania są >=0 to wolno nam spierwiastkować obydwie strony równania. Pierwiastkujemy zatem obydwie strony równania:
√y=x
3.
y=√x
Funkcją odwrotną do y=x2 jest funkcja y=√x dla x>0.
Obydwie funkcje są symetryczne w stosunku do siebie względem prostej y=x co pokazuje poniższy rysunek:
Zobacz artykuły, które mogą Cię zainteresować:
Dodaj komentarz do artykułu.
Komentarze użytkowników (10)
2013-02-13 08:27:19 Julaa napisał(a):
w takim razie jak zrobić ten przykład ? f(x)=3x+e
2013-02-14 00:11:36 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj Julaa.
Robimy tak jak w przykładzie nr 1:
1. y=3x+e
2. wyznaczamy x:
y=3x+e
y-e=3x
(y-e)/3=x
3. zamieniamy niewiadome:
(x-e)/3=y
y=x/3 - e/3
Pozdrawiam
Marcin
2013-03-26 12:41:21 zorro napisał(a):
Witam.
Potrzebuje objaśnienia jak zrobić taki przykład inwersji funkcji: k(x)=5ln(√x+1)-6/-2
2013-03-26 17:10:46 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Możesz doprecyzować ten wzór? Powinno być:
k(x)=5ln(√x+1)+3
czy
k(x)=[5ln(√x+1)-6]/-2 = (-5/2)* ln(√x+1) +3 ?
Pozdrawiam Marcin
2013-03-31 15:25:58 Tynaa222 napisał(a):
Witam, a jak rysować te wykresy f-cji odwrotnych? po prostu trzeba wstawić liczby, czy jest na to jakiś inny sposób? Czy w przypadku trudniejszych funkcji (np. y= arcsin2(2ln(x)-1)też może być polecenie żeby narysować wykres? Bardzo proszę o odpowiedź
2013-03-31 17:00:32 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj
Przy rysowaniu funkcji prostych np.: funkcji liniowych można stosować wstawianie kolejnych liczb i łączenie odpowiednich punktów. Przy innych prostych funkcjach także stosuje się tą metodę w powiązaniu ze znajomością własności danej funkcji np.: rysując wykres funkcji y=x2-2 trzeba wiedzieć, że wykresem tej funkcji jest parabola, wiedzieć jakie są jej miejsca zerowe , wierzchołek i jak są skierowane ramiona paraboli (góra czy dół). Przy rysowaniu bardziej złożonych funkcji przydatna będzie także wiedza na temat przekształceń funkcji: przesunięcie wykresu o wektor o danych współrzędnych, symetria względem osi x i y. Przy rysowaniu jeszcze bardziej skomplikowanych funkcji najpierw wykonuje się badanie funkcji: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, liczy się pochodną i wartości x, dla których pochodna się zeruje, wyznaczamy wtedy maksima i minima i przedziały, w których funkcja maleje i rośnie, wreszcie wyznaczamy asymptoty funkcji. Wówczas wykres takiej funkcji można narysować. Podana przez Ciebie funkcja raczej kwalifikuje się do tej ostatniej grupy. Myślę, że taka funkcja może się pojawić w zadaniu z ostatnich klas szkoły średniej i na studiach.
Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM
2013-03-31 19:00:25 Tynaa222 napisał(a):
Ooo, bardzo dziekuję, o to właśnie mi chodziło
2013-03-31 21:08:13 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Proszę bardzo :-) Jeśli byś potrzebowała pomocy z jakimś konkretnym przykładem funkcji to możesz go dodać jako komentarz. Jeśli będę potrafił to postaram się pomóc.
Pozdrawiam
Marcin - BazyWiedzy.COM
2013-04-22 16:28:34 asiaa napisał(a):
Znaleźć funkcję odwrotną y= -x2 dla x < 0 i 2+x dla x> lub równych 0
BAaaaaardzo proszęo pomoc
2013-04-23 01:20:22 BazyWiedzy.COM napisał(a):
Witaj.
Oto rozwiązanie: